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De Fractales y Otros Bichos: La Matemática de la
Naturaleza (Rumbo a la Matemática Informática). Fernando Galindo Soria. Instituto Politecnico
Nacional Cd. de México, México Septiembre de 1989
RESUMEN En este trabajo se presenta una
introducción a la Matemática de la Naturaleza, incluyendo los fractales, la
Teoría de Caos y otras áreas
relacionadas. Como primer punto se introduce el
concepto de Fractal y se describen sus propiedades de autosimilaridad y de
dimensión fraccionaria, a continuación se da una introducción a la Teoría del
Caos y se observa que el
comportamiento de un sistema caótico tiene una estructura fractal. Como
siguiente punto se introduce el concepto de Agregación, que es uno de los
mecanismos fundamentales para construir estructuras fractales y se observa
que si un fenómeno de agregación se lleva al límite se termina con un
cristal, de donde se postula que un fractal y un cristal son casos
particulares de un fenómeno general. A partir de los cristales se introducen
los pseudocristales como estructuras que "se ven" ordenadas como un
cristal pero que, sin embargo, no conservan las propiedades geométricas de
los cristales, lo que nos lleva a plantear que en un sistema se presenta un orden a corto plazo o cristalino y un
orden a largo plazo o pseudocristalino. Finalmente, se observa que ciertos
fenómenos en los que interactuan 2, 'sustancias' diferentes en las cuales una
se quiere infiltrar en la otra para pasar de un lado al otro (como una
corriente eléctrica en un material X, un gas en un filtro, etc.), presentar
un comportamiento conocido como percolación que es un caso particular del
crecimiento fractal (también se le llama fractal lento). De Fractales y Otros Bichos: La Matemática de la
Naturaleza (Rumbo a la Matemática Informática). Fernando Galindo Soria. Instituto Politecnico
Nacional Cd. de México, México Septiembre de 1989
FRACTALES. A mediados de los 70's un científico de
la IBM, Manderbrot propuso una nueva herramienta para modelar fenómenos de la
naturaleza, esta herramienta conocida como Fractal se introdujo rápidamente
en la informática, principalmente en la graficación y conforme ha pasado el
tiempo se le ha encontrado aplicaciones en muchas otras áreas incluyendo el
reconocimiento de formas y la modelación. En general se puede considerar que un
fractal es un objeto que tiene la propiedad de autosimilaridad , o sea que si
tomamos el fractal y lo dividimos en sus componentes cada parte tiene las
características del todo, por ejemplo, si tomamos una piedra y la estrellamos
contra el suelo cada uno de los fragmentos resultantes se puede ver como una
piedrita, si a un árbol le quitamos una rama y la sembramos veremos que la
forma del árbol y de la rama es la misma, de donde se observa que tanto la
piedra como el árbol son autosimilares ya que sus partes son del mismo tipo
que el todo. Cuando se planteo la existencia de los
objetos fractales se consideraba que eran objetos curiosos o raros, sin
embargo en la actualidad se plantea que prácticamente todos los objetos que
existen en la naturaleza tienen algún tipo de comportamiento fractal, de
donde esta área a surgido como una de las mas importantes de la Matemática
actual. Una de las cosas que mas sorprende a la
gente cuando se introduce en el área de los fractales se encuentra cuando se
calcula la dimensión de un objeto fractal y se encuentra que ésta normalmente
no es un número entero, con lo cual y de un golpe se cambia radicalmente
nuestra concepción de la realidad, ya que,
estamos acostumbrados a pensar en objetos de 1, 2, 3, ó más
dimensiones pero siempre dimensiones enteras, por lo que, es difícil
conceptualizar objetos con dimensiones fraccionarias de 1.66 ó 2.87. Sin embargo, y conforme pasa el tiempo
el concepto de Fractal ha sido cada vez más aceptado por la comunidad
científica, tal vez gracias a sus espectaculares resultados en la graficación
y cada vez se han encontrado mas fenómenos en los cuales las ecuaciones o
modelos toman en cuenta la dimensión fractal del problema, por ejemplo en
Física se encontró que las ecuaciones
que describen la relación entre la forma de un objeto y el sonido que emite
al ser tocado dependen de la
dimensión fractal del objeto, ya que cuando se utilizaban las dimensiones
enteras aproximadas los resultados no eran aceptables. Otra área donde el
resultado ha sido espectacular es la de crecimiento poblacional (celular,
urbano, químico) donde se ha podido modelar en forma relativamente sencilla
(mediante algoritmos recursivos) fenómenos que normalmente requerían del
manejo de sistemas de Ecuaciones no Lineales y un soporte computacional muy
sofisticado. Estos resultados y otros más que se
están dando prácticamente en todo el mundo nos ha llevado a postular que el
Universo está regido por UN CONTINUO
DIMENSIONAL donde el número de dimensiones no es de tres, cuatro ó
cualesquier otro número entero, sino que EL
ESPACIO tiene un NUMERO CONTINUO DE DIMENSIONES y en su momento las
ecuaciones o modelos que describen algún fenómeno tienen que tomar en cuenta
este hecho. A pesar de que hace tiempo que
surgieron los fractales como una de las primeras áreas de la matemática que
emerge del interior de la Informática y en la actualidad su impacto es de tal
magnitud que, tal vez, transforme completamente nuestra concepción de la
realidad, en el campo de la enseñanza de la informática en México está
ocurriendo una paradoja, ya que seguimos cuestionando si se da o no cierto
tema de matemáticas para la física de hace 100 años y ni siquiera hemos oído
hablar de esta herramienta actual. Si los fractales fueran el único caso
de Matemáticas de la Informática poco conocido o desconocido en general en
México, se podría paliar de alguna forma pero como se explicó anteriormente
está ocurriendo una Explosión de Nuevas Áreas y todas con un impacto más o
menos radical y realmente si no tomamos acciones curriculares a corto plazo
tal vez no perdamos la guerra informática en la trinchera computacional sino
en la de las Matemáticas y no porque no se les den Matemáticas a los
informáticos sino porque no se les dan las matemáticas de la Informática que
son las que están cambiando el concepto del mundo. TEORÍA
DE CAOS Por ejemplo, la Teoría del Caos es una
de las áreas de la matemática informática mas importantes y desconocidas que
existen actualmente, confundiéndose por ejemplo con el desorden, siendo que
los sistemas caóticos son sistemas de orden superior. Se considera que un fenómeno tiene un
comportamiento caótico cuando se puede explicar o modelar con un número
pequeño de variables aleatorias, con
la característica de que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales
propician grandes variantes en el comportamiento final del fenómeno, tal
es el caso de los fenómenos meteorológicos, la Bolsa de Valores, la mezcla de
fluidos y de muchos otros procesos 'no controlables'. Los sistemas caóticos requieren pocas
variables para modelar su comportamiento, por lo que son candidatos ideales
para tratarse mediante computadoras, utilizando principalmente números
pseudoaleatorios, sin embargo, al depender fuertemente de variaciones
extremadamente pequeñas en sus condiciones iniciales es necesario investigar
sobre su comportamiento para buscar
sus propiedades generales y tratar de entenderlos mejor. En particular se ha encontrado que este
tipo de sistemas son un caso particular de los Sistemas Dinámicos (un área
'olvidada' de la Matemática Informática) y como tales se les pueden aplicar
algunos de sus conceptos, como el concepto de Atractor, o sea un punto de
convergencia de un fenómeno, bajo esta idea se ha detectado que el comportamiento
de un fenómeno caótico está restringido dentro de ciertos marcos, ya que, por
mucho que cambien de un problema a otro las trayectorias de comportamiento,
en todos los casos no estarán separadas entre sí más de lo que permiten las
características geométricas del espacio donde se desarrolla este fenómeno
(los vientos dependen de las propiedades físicas y la bolsa de las
económicas). Desde el punto de vista informático uno
de los resultados más espectaculares de este tipo de fenómenos, es que,
cuando se 'gráfican' las diferentes trayectorias de un fenómeno caótico y se
obtienen planos transversales que corten todas las trayectorias, el conjunto
de puntos obtenidos tienen una estructura fractal, o sea que el
comportamiento de todo el racimo de posibles trayectorias de un fenómeno
caótico es un Fractal. Algunas de las aplicaciones de la
Teoría del Caos se han dado en el estudio de los fluidos y principalmente en
la construcción de robots o mecanismos que siguiendo siempre una misma
secuencia preestablecida (números pseudoaleatorios) de acciones caóticas
permiten repetir un mismo proceso tantas veces como se desee, como es el caso
de la mezcla de pinturas, donde el color obtenido no sólo depende de la
cantidad de colorantes sino también del orden en que se combinan. AGREGACIÓN La relación entre fractales y sistemas
dinámicos (en particular atractores) no termina en la Teoría del Caos, sino
que vuelve a presentarse en otra de las grandes olvidadas: La Teoría de
Cristales. Dentro de los experimentos realizados
sobre agregación (de partículas, personas, células, etc.) en los laboratorios
y mediante computadora se ha detectado que dependiendo del 'grado de
atracción' de los entes que se están agregando entre sí se puede obtener
desde un fractal en forma de estrella filamentosa hasta un cristal, ya que
conforme la atracción hacia el centro es mayor, es menos probable que las
partículas se queden en la periferia, por lo que, tienden a cristalizarse, de
donde podemos postular que tanto los
cristales como los fractales son casos particulares de un mismo fenómeno
controlado por sus propiedades dinámicas. PSEUDOCRISTALES. En el caso particular de los cristales
una de sus características se centra en el mantenimiento de un cierto orden y
simetría entre sus componentes, sin embargo, desde hace varios años se han
encontrado ejemplos de 'cristales' que no son cristales, ya que, 'cuando se
observan con lupa' no tienen las características simétricas de un cristal,
sin embargo, al mirarlos a nivel macro su comportamiento es cristalino, estos
Pseudocristales han causado una gran conmoción porque aparentemente tiraban
los fundamentos de la cristalografía, sin embargo, la explicación de su
comportamiento fue completamente inocua y abrió toda una área de
investigación sobre el concepto de orden ya de por sí cuestionado por la
Teoría de Caos y su 'Orden Caótico'. Dentro de este nuevo enfoque se observa
que las estructuras pueden presentar dos tipos de orden: un microorden, o sea
que cada elemento del sistema está ordenado y mantiene relaciones ordenadas
con su entorno y un macroorden en el cual, a pesar de que los elementos no
mantengan un orden cerrado entre ellos si pueden presentar un comportamiento
ordenado como un todo AUTÓMATAS
CELULARES. El estudio de este tipo de comportamiento
se puede complicar en grado sumo si no es un sólo tipo de elemento el que se
encuentra involucrado sino varios, ya que en ese caso los modelos
informáticos tienen que tomar en cuenta el comportamiento de cada uno de los
elementos involucrados y las interacciones entre ellos, llegando a los
fenómenos de Coevolución y en particular a los Autómatas Celulares. Cuando uno observa el desarrollo de la
investigación en Informática en México se siente que los criterios para
decidir si se estudia o no un área se basan muchas veces en el rumor, la
propaganda y principalmente en la moda. Este es tal vez el motivo de que
algunas de las áreas mencionadas anteriormente no sean siquiera conocidas en
México, ya que no nos han dicho en forma masiva que están de moda, mientras
no cambiemos esa actitud y desarrollemos nuestras propias investigaciones sin
esperar a hacerlo cuando ya todo mundo lo está haciendo va a ser difícil que
podamos competir en el ambiente informático. El caso de los autómatas celulares es un
claro ejemplo de la investigación porque todo mundo lo hace, a pesar de que
ya tienen antecedentes de medio siglo o antes, nadie los estudiaba en México
a pesar de todas sus aplicaciones. A mediados de los 40's el matemático
húngaro John Von Neumann (tal vez el mayor matemático de este siglo) comienza
a investigar sobre la idea de maquinas que se autorreproducen, a partir de
esta investigación el mismo Von Neumann en los 50's propone los autómatas
celulares como un gran conjunto de autómatas capaces de interactuar entre
ellos y con la característica de que se puede autorreproducir, sin embargo,
esta área se quedó en el limbo (aparentemente por razones tecnológicas
primero y económicas después) y sólo se desarrolló el área lateral (y mucho
menos conocida) de los Sistemas de Autómatas. Es en estos casos donde se ve el gran
poder del rumor, ya que, como Von Neumann fue el causante teórico del
desarrollo de las máquinas secuenciales, es común que se le "eche la
culpa" de que las computadoras actuales sean secuenciales y existan
pocas maquinas en paralelo, pero prácticamente nunca se menciona que él
estableció también el modelo de las máquinas en paralelo, proceso distribuido
y máquinas que se autorreproducen, con lo cual se le hecha la culpa de un
desarrollo lineal cuyas bases se encontraban en los problemas técnicos de su
época y no en los fundamentos matemáticos como nos hace creer este rumor, en
fin, es uno más. Es a principios de los 80's con el
proyecto japonés de la 5.- Generación que se rompe el bloqueo económico (ya
para esas fechas no era técnico) que impedía el desarrollo masivo de la
programación en paralelo y distribuida, cuando se empiezan a recuperar las
herramientas matemáticas de Von Neumann (que nuevamente surgieron dentro de
lo que es actualmente la Informática) y es hasta finales de 1988 donde 'se
descubre' los autómatas celulares en México, a pesar de múltiples intentos
aislados previos para que se investigara esta área (pero no estaba de moda),
bienvenidos los Autómatas Celulares y tal vez ya vamos lentos en su inclusión
dentro de los programas de estudio, ya que están en la base del Proceso
Distribuido y de la Inteligencia Artificial. LINGÜÍSTICA
MATEMÁTICA. Regresando al área de los fractales,
una gran cantidad de objetos de la naturaleza como: arboles, nubes, estrellas
y montañas que tienen estructura fractal son relativamente fáciles de
representar utilizando la Lingüística Matemática. Esta área surge en 1957 con los
trabajos de Noam Chomsky sobre Gramáticas Generativo-Transformacionales, en
los cuales se modelan los fenómenos lingüísticos mediante una gramática
compuesta por un conjunto de reglas en las cuales se indica la estructura de
las oraciones de un lenguaje. Prácticamente, desde su surgimiento la
lingüística matemática fue estudiada por lingüistas y por matemáticos, pero
en forma independiente y es alrededor de 1969 cuando surge el primer libro
'Construcción de Compiladores' de Gries donde se presenta su uso precisamente
para la construcción de compiladores con lo que comienza a utilizarse en la
informática. Cuando uno revisa la literatura sobre
Lingüística Matemática (Lenguajes Formales, Teoría de Autómatas) se observa
un ciclo repetitivo desde principios de los 60's en el cual se enfatiza
únicamente la fundamentación matemática con un cúmulo muy grande de teoremas,
demostraciones y postulados (libros clásicos de matemáticas pero escritos por
informáticos) y cuando uno analiza los temarios encuentra una copia de esos
libros, con lo cual muchos cursos de Lingüística Matemática son cursos de
matemáticas teóricas sin ninguna vinculación real con la informática, ya que,
el participante en éstos nunca sabe para qué sirve, llegando a oírse la opinión de algunos profesores que dicen que
estos son únicamente 'cursos formativos'. Lo anterior es a pesar del sinnúmero de
aplicaciones de los lenguajes y autómatas: en compiladores, editores,
sistemas operativos, nóminas, gráficación, reconocimiento de patrones y en
prácticamente todas las áreas de la Informática. Es aquí donde se ve el efecto negativo
de la moda, ya que en México prácticamente desde sus inicios se manejó la
Lingüística Matemática y ya para 1979 se tenían programas de estudio donde se
integraba la herramienta matemática a la solución de los problemas de la
informática y en la actualidad ya se cuenta con herramientas, teorías y
métodos propios, los cuales se han difundido principalmente en los congresos
de Inteligencia Artificial y de Matemáticas. Pero no se cuenta con los recursos
masivos de difusión, por lo que, aún ahora, a pesar de que ésta es un área en
la que somos líderes mundiales seguimos dando el curso según algún libro
extranjero atrasado con respecto a nosotros en varios años y por tal motivo
perdemos esos años (hasta que los métodos mexicanos aparezcan en el libro extranjero)
y en ese momento todo el desarrollo mexicano sobre Programación Dirigida por
sintaxis, generadores de sistemas y sistemas evolutivos se podrá perder de un
día para otro. En particular muchos fractales pueden
ser representados mediante una gramática, con lo que se cierra un círculo.
Por ejemplo, la Lingüística Matemática y los Fractales se aplican a la
generación de paisajes y en particular con la ecuación lingüística S-->a*S*
se puede representar la estructura de múltiples elemento de la naturaleza
al extremo que la proponemos como una
de las ecuaciones fundamentales de la naturaleza. MATEMÁTICAS
ORGÁNICAS. El Código Genético o Doble Hélice es
otro tipo de estructura lingüística, la doble hélice fue descubierta a
mediados de los 50's y le valió el premio novel a sus descubridores y es el
mecanismo con el cual se transmite la información genética en los seres
vivos. Una doble hélice está formada por dos cadenas de aminoácidos
entrelazadas de tal manera que a cada aminoácido de cierto tipo A en una
cadena le corresponde siempre un aminoácido del Tipo B en la otra cadena, con
lo cual si se tiene A en la primera podremos asegurar que se tendrá B en la
segunda. Este mecanismo de transmisión de
información ha sido poco estudiado por los informáticos a pesar de estar en
la base de la Biotecnología y hace poco tiempo que se comenzó a trabajar en
un área conocida como Algoritmos Genéticos, en la cual a partir del modelo de
comportamiento de la doble hélice se han desarrollado métodos para hacer
programas, basados en que un algoritmo genético realiza varios tipos de
actividades. a) Duplica un código dado (por ejemplo
un programa). b) Duplica un código transponiendo
algunas partes del código. c) Introduce 'errores' aleatorios en el
código. d) Construye un nuevo código a partir
de dos códigos viejos. De tal manera que si, por ejemplo, se
quiere mejorar genéticamente un programa que ordene números, el proceso
sería: i) Se da un programa inicial. ii) Se construyen genéticamente una
gran cantidad de programas a partir del inicial. iii) Se eligen los 'mejores programas'
y se dan como entrada nuevamente al sistema repitiéndose el ciclo. Se espera que después de un buen número
de generaciones se obtengan códigos mejorados. Este tipo de métodos se han aplicado principalmente
para generar programas orientados a resolver problemas de complejidad NP
(problemas que conforme aumenta la cantidad de datos que manejan aumenta
enormemente los recursos que necesitan para resolverse y en los cuales los
algoritmos tradicionales son muy ineficientes) y los resultados han sido
espectaculares. MÉTODOS
HEURÍSTICOS. El problema 'clásico' de tipo NP es el
problema del agente viajero y consiste en encontrar la ruta mínima que une a
todas las ciudades que tiene que recorrer un vendedor. Se demuestra
matematicamente que si se encuentra una solución a este problema, esta
solución se puede aplicar para una gran cantidad de problemas. Dentro de las Matemáticas de la
Naturaleza se han desarrollado otros métodos aparte de los genéticos para
atacar los problemas NP, en particular se tienen: a) Los métodos de enfriamiento en los
cuales se simula el comportamiento de un material que se está enfriando. b) Los métodos de pompas de jabón en el
cual se 'sumerge' en una tina con jabón el mapa de ciudades a visitar y las
pompas por tensión superficial tienden a encontrar la estructura mínima. c) Los métodos de liga en los cuales se
hace pasar una liga de tal forma que vaya uniendo las ciudades de tal forma
que la distancia sea mínima. En estos métodos nuevamente se vuelven
a encontrar las características de un sistema dinámico y en particular el
concepto de atractor. TEORÍA
DE LA PERCOLACIÓN. Otro tipo de problemas se presenta
cuando el recorrido se tiene que realizar en un ambiente hostil o al menos no
amigable, como es el caso de una sustancia que necesita cruzar una capa
porosa. Este tipo de problemas lo estudia otra de las áreas de la matemática
de la naturaleza conocida como Teoría de la Percolación (también llamada
Fractal Lento). La teoría de la percolación estudia los
fenómenos que se presentan cuando una sustancia quiere cruzar de un lado a
otro de un espacio cubierto por otra sustancia (como por ejemplo, el
movimiento de los electrones en algún material) e investiga en qué condiciones
se puede dar y en cuáles no la percolación (Percolación significa
Infiltración). Los métodos para resolver problemas de
percolación son 'relativamente' sencillos, pero también son extremadamente
tardados y han orillado al desarrollo de máquinas computadoras de propósito
específico sumamente poderosas como es el caso del computador europeo
Percola. REDES
NEURONALES. Uno de los problemas de investigar por
modas es el hecho de que cuando algo ya está de moda es porque el 'estado del
arte' ya está muy avanzado y muy difundido, por lo que, es difícil competir
en la investigación y/o crear nichos tecnológicos. Este es el caso de otro de
los Grandes Olvidados: las Redes Neuronales. Las Redes Neuronales fueron propuestas
en 1943 por dos neurofisiólogos Mc Cullot y Pitts como un mecanismo para
modelar el funcionamiento del cerebro y hasta principios de los 70's se tiene
una gran cantidad de investigación sobre este tema, los problemas técnicos
para construir una 'neurona' física y algunos problemas sobre como
'aprendían' las redes hicieron que esta área fuera quedando relegada, sin
embargo, en México durante toda la década de los 70's se siguieron realizando
investigaciones sobre el área, las cuales fueron muriendo por falta de apoyo
o por problemas de los investigadores. Nuevamente es a principios de los 80's
con el surgimiento del proyecto japonés, donde tecnológicamente se hace
factible el desarrollo de las redes neurales y es a finales de los 80's donde
en México de repente mucha gente descubre las redes neuronales y se ponen a
estudiarlas, pero ya el golpe de 10 años de atraso se hace sentir y es
necesario enfatizar que ya vamos muy atrasados. CONCLUSIÓN. Como se puede observar de este vistazo
a vuelo de pájaro, el área de la Matemática de la Naturaleza es sumamente
amplio, mucha de ella ha surgido dentro de la Informática y está en sus
fundamentos, prácticamente no la conocemos, está revolucionando el estudio de
la realidad y es imprescindible su inclusión en las curricula de Informática
si es que no nos queremos ver desplazados definitivamente. |